实变函数论——集合的运算以及上、下极限

知识点

定义

并集

A∪B={x∣x∈A或x∈B}A\cup B=\left\{x|x\in A或x \in B\right\}A∪B={x∣x∈A或x∈B}

交集

A∩B={x∣x∈A且x∈B}A\cap B=\left\{x|x\in A且x \in B\right\}A∩B={x∣x∈A且x∈B}

差集、补集

差集：A−B={x∣x∈A，但x∉B}A-B=\left\{x|x\in A，但x \notin B\right\}A−B={x∣x∈A，但x∈/B}

补集：Ac={x∣x∈Ω，但x∉A}，Ω为全集A^{c}=\left\{x|x\in \Omega，但x \notin A\right\}，\Omega为全集Ac={x∣x∈Ω，但x∈/A}，Ω为全集

对称差集

AΔB=(A−B)∪(B−A)A\Delta B=(A-B)\cup (B-A)AΔB=(A−B)∪(B−A)

上、下极限

lim‾⁡n→+∞An=lim sup⁡n→+∞An=∩n=1∞∪k=n∞Ak={x∣∃无穷个k，使x∈Ak}={x∣对∀n∈N,∃k≥n,使x∈Ak}\begin{aligned}

\varlimsup_{n\rightarrow+\infty}A_n

& = \limsup_{n\rightarrow +\infty}A_n \\

& = \cap _{n=1}^{\infty}\cup_{k=n}^{\infty}A_k \\

& =\left\{x|\exists无穷个k，使x \in A_k \right\} \\

& = \left\{x|对\forall n\in N ,\exist k \geq n,使x \in A_k\right\}

\end{aligned}n→+∞lim​An​​=n→+∞limsup​An​=∩n=1∞​∪k=n∞​Ak​={x∣∃无穷个k，使x∈Ak​}={x∣对∀n∈N,∃k≥n,使x∈Ak​}​

lim‾⁡n→+∞An=lim inf⁡n→+∞An=∪n=1∞∩k=n∞Ak={x∣只有有限个k，使x∉Ak}={x∣∃n0∈N,当k≥n0时，x∈Ak}\begin{aligned}

\varliminf_{n\rightarrow+\infty}A_n

& = \liminf_{n\rightarrow +\infty}A_n \\

& = \cup _{n=1}^{\infty}\cap_{k=n}^{\infty}A_k \\

& =\left\{x|只有有限个k，使x \notin A_k \right\} \\

& = \left\{x|\exist n_0\in N ,当k\geq n_0时，x \in A_k\right\}

\end{aligned}n→+∞lim​​An​​=n→+∞liminf​An​=∪n=1∞​∩k=n∞​Ak​={x∣只有有限个k，使x∈/Ak​}={x∣∃n0​∈N,当k≥n0​时，x∈Ak​}​

∩n=1∞An⊂lim‾⁡n→+∞An⊂lim‾⁡n→+∞An⊂∪n=1∞An\cap_{n=1}^{\infty}A_n\subset \varliminf_{n\rightarrow+\infty}A_n \subset \varlimsup_{n\rightarrow+\infty}A_n \subset \cup_{n=1}^{\infty}A_n∩n=1∞​An​⊂lim​n→+∞​An​⊂limn→+∞​An​⊂∪n=1∞​An​

当集列AkA_kAk​有极限，或者是收敛的，那么lim⁡n→+∞An=lim‾⁡n→+∞An=lim‾⁡n→+∞An\lim_{n\rightarrow +\infty}A_n=\varliminf_{n\rightarrow+\infty}A_n =\varlimsup_{n\rightarrow+\infty}A_nn→+∞lim​An​=n→+∞lim​​An​=n→+∞lim​An​

性质

(lim‾⁡n→+∞An)c=lim‾⁡n→+∞Anc(\varlimsup_{n\rightarrow +\infty}A_n)^c=\varliminf_{n\rightarrow +\infty}A_n^c(n→+∞lim​An​)c=n→+∞lim​​Anc​

(lim‾⁡n→+∞An)c=lim‾⁡n→+∞Anc(\varliminf_{n\rightarrow +\infty}A_n)^c=\varlimsup_{n\rightarrow +\infty}A_n^c(n→+∞lim​​An​)c=n→+∞lim​Anc​

例题

单点集的极限

设Ak={ak}A_k=\left\{a_k\right\}Ak​={ak​}，当i≠ji\neq ji=j时，ai≠aja_i\neq a_jai​=aj​。lim‾⁡k→+∞Ak={x∣∃n0∈N,当k≥n0时，x∈Ak}=∅\varliminf_{k\rightarrow +\infty}A_k= \left\{x|\exist n_0\in N ,当k\geq n_0时，x \in A_k\right\}=\emptyk→+∞lim​​Ak​={x∣∃n0​∈N,当k≥n0​时，x∈Ak​}=∅

lim‾⁡k→+∞Ak={x∣∃无穷个k，使x∈Ak}=∅\varlimsup_{k\rightarrow +\infty}A_k= \left\{x|\exists无穷个k，使x \in A_k \right\}=\emptyk→+∞lim​Ak​={x∣∃无穷个k，使x∈Ak​}=∅

所以，lim⁡k→+∞=∅\lim_{k\rightarrow +\infty}=\emptylimk→+∞​=∅

设E、F为集合，作集列

An={En为奇数Fn为偶数 A_n=\left\{

\begin{array}{rcl}

E & & {n为奇数}\\

F & & {n为偶数}

\end{array} \right. An​={EF​​n为奇数n为偶数​

所以，lim‾⁡n→+∞=∩n=1∞∪k≥nAk=∩n=1∞(E∪F)=E∪F\varlimsup_{n\rightarrow +\infty}=\cap_{n=1}^{\infty}\cup_{k\geq n}A_k=\cap_{n=1}^{\infty}(E \cup F)=E \cup Fn→+∞lim​=∩n=1∞​∪k≥n​Ak​=∩n=1∞​(E∪F)=E∪F

lim‾⁡n→+∞=∪n=1∞∩k≥nAk=∩n=1∞(E∩F)=E∩F\varliminf_{n\rightarrow +\infty}=\cup_{n=1}^{\infty}\cap_{k\geq n}A_k=\cap_{n=1}^{\infty}(E \cap F)=E \cap Fn→+∞lim​​=∪n=1∞​∩k≥n​Ak​=∩n=1∞​(E∩F)=E∩F

设fk，f:R1→Rf_k，f:R^1\rightarrow Rfk​，f:R1→R为实函数(k=1,2,⋯ )(k=1,2,\cdots)(k=1,2,⋯),则D={x∣fk(x)↛f(x)}={x∣∃无穷个k∈N，使∣fk(x)−f(x)∣≥1n}=∪n=1∞lim‾⁡k→+∞{x∣∣fk(x)−f(x)∣≥1n}=∪n=1∞∩N=1∞∪k=N∞{x∣∣fk(x)−f(x)∣≥1n}\begin{aligned}D&=\left\{x|f_k(x)\nrightarrow f(x)\right\}\\&= \left\{x|\exist无穷个k\in N，使|f_k(x)-f(x)|\geq\frac{1}{n}\right\}\\ &=\cup_{n=1}^{\infty}\varlimsup_{k\to +\infty}\left\{x||f_k(x)-f(x)|\geq\frac{1}{n}\right\}\\&=\cup_{n=1}^{\infty}\cap_{N=1}^{\infty}\cup_{k=N}^{\infty}\left\{x||f_k(x)-f(x)|\geq\frac{1}{n}\right\}\end{aligned}D​={x∣fk​(x)↛f(x)}={x∣∃无穷个k∈N，使∣fk​(x)−f(x)∣≥n1​}=∪n=1∞​k→+∞lim​{x∣∣fk​(x)−f(x)∣≥n1​}=∪n=1∞​∩N=1∞​∪k=N∞​{x∣∣fk​(x)−f(x)∣≥n1​}​

#注：本篇习题皆来自于《实变函数论》徐森林编著。